Řezy mnohostěnů

Řez mnohostěnu rovinou je průnik tělesa a roviny. Je to rovinný útvar, jehož hranice je průnik hranice tělesa a roviny řezu. Hranice řezu tělesa se skládá z průniků roviny řezu se stěnami tělesa. Sestrojit řez rovinou tedy znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami jednotlivých stěn.

Pro konstrukce řezů jsou důležité zejména následující tři věty a jejich důsledky.

• Věta 1: Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině.
• Věta 2: Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách.
• Věta 3: Jsou-li kadé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice.

• Důsledek 1: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, leží v rovině této stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu.
• Důsledek 2: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné.
• Důsledek 3: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě.

U každéhé z následujících úloh je možné krokovat si řešení (předchozí snímek, následující snímek) a také si zobrazit interaktivní podobu řezu. Na obrázku se pak dají měnit rozměry těles a úhlel pohledu. U některých konstrukcí je možné měnit i polohu bodů, jimiž je určena rovina řezu.

Úlohy

1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou BGX, kde bod X je střed hrany AE.
   

   ŘEŠENÍ

2. Určete průnik krychle ABCDEFGH s rovinou XYZ, kde bod X leží na polopřímce AB a platí |AX|=3/2|AB|, Y leží na polopřímce AD a platí |AD|=|DY| a bod Z je středem hrany AE.
   

   ŘEŠENÍ

3. Určete průnik krychle ABCDEFGH s rovinou XYZ, kde bod X je střed hrany AB, bod Y střed hrany AE a bod Z střed hrany CG.
   

   ŘEŠENÍ

4. Určete průnik pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s rovinou řezu danou bodem M a přímkou p, kde bod M je střed hrany DV a přímka p prochází středem hrany AB a je rovnoběžná s přímkou AC.
   

   ŘEŠENÍ

5. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou řezu danou body P,Q,R, kde bod P je střed hrany AV, Q je bodem hrany BV a platí |BQ|:|QV|=1:5 a bod R je bodem hrany CV a platí |CR|:|RV|=1:3.
   

   ŘEŠENÍ

6. Určete průnik pravidelného šestibokého hranolu ABCDEFGHIJKL s rovinou řezu danou body A,C,Y, kde bod Y leží na hraně JK a platí |JY|=1/4|JK|.
   

   ŘEŠENÍ

7. Sestrojte řez čtyřbokého hranolu ABCDEFGH, jehož podstavou je lichoběžník, rovinou MNP, kde bod M leží na hraně AB, bod N na hraně DH a bod P na hraně GH.
   

   ŘEŠENÍ

8. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou body X,Y,Z. Bod X leží na hraně BC, bod Y na hraně GH a bod Z na polopřímce AE za bodem E.
   

   ŘEŠENÍ

9. Sestrojte řez osmistěnu ABCDEF rovinou určenou body K,L a vrcholem C. Bod K leží na hraně AB, bod L na hraně BD.
   

   ŘEŠENÍ

10. Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou určenou body X,Y,Z. Bod X leží na polopřímce DA za bodem A a platí |AX|=|DA|, bod Y na polopřímce CG za bodem G a platí |YG|=1/2|CG|, bod Z na polopřímce GH za bodem H.
    

    ŘEŠENÍ